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Logarithmus-Rechner

Berechne log10, natürlichen Logarithmus (ln) und Logarithmen beliebiger Basis. Das Tool ist kostenlos, versteht lokale Zahlenformate (Komma oder Punkt) und zeigt Ergebnisse sofort an.

Zahlenformat

Wählen Sie, wie numerische Ergebnisse angezeigt werden. Das ausgewählte Dezimaltrennzeichen (Punkt oder Komma) wird auch beim Eingeben von Zahlen verwendet.

logb(x)
0,0000
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Logarithmus-Rechner (Log Calculator) hilft dir schnell den Wert y = logb(x) für eine gegebene Basis b und eine Zahl x zu berechnen. Nützlich für Schule, Studium, Datenanalyse oder praktische Anwendungen (Dezibel, pH-Wert, Erdbebenstärke, Informatik).

Die Grundidee: logb(x) = y ⇔ by = x. Mit anderen Worten: „Mit welcher Potenz muss ich b potenzieren, um x zu erhalten?“

  • Bedingungen: b > 0, b ≠ 1, x > 0.
  • Gängige Basen: 10 (Zehnerlogarithmus), e (natürlicher Logarithmus, ln), 2 (häufig in der Informatik).

So funktioniert es

  1. Trage die Basis b ein (z. B. 10, 2 oder e).
  2. Gib die Zahl x ein (x > 0).
  3. Klicke auf „Berechnen“, um y = logb(x) zu erhalten.

Basiswechsel-Formel: logb(x) = ln(x) / ln(b) oder log10(x) / log10(b).

Eingabe-Tipp: Dezimalzahlen werden mit Komma geschrieben (3,14). Tausender werden mit Leerzeichen abgetrennt (1 200 000). Auch wissenschaftliche Notation ist möglich, z. B. 1,2·106.

Beispiele

Beispiel 1: log10(1 000)

103 = 1 000, also ist das Ergebnis 3.

Beispiel 2: log2(8)

23 = 8, also ist das Ergebnis 3.

Beispiel 3: log10(0,01)

10-2 = 0,01, also ist das Ergebnis -2. Wenn x < 1, wird der Logarithmus negativ.

Beispiel 4: log3(20)

log3(20) = ln(20) / ln(3).

Häufig genutzte Werte

Ausdruck Ergebnis Erklärung
log10(1) 0 100 = 1
log10(10) 1 101 = 10
log10(100) 2 102 = 100
log2(8) 3 23 = 8
ln(e) 1 e1 = e

Wichtige Eigenschaften

  • Produkt → Summe: logb(MN) = logb(M) + logb(N)
  • Quotient → Differenz: logb(M/N) = logb(M) − logb(N)
  • Potenzregel: logb(Mk) = k × logb(M)
  • Basiswechsel: logb(x) = ln(x) / ln(b)

Anwendungsbereiche

  • Wissenschaft: Richter-Skala, Dezibel (dB), pH-Wert.
  • Informatik: Algorithmische Komplexität O(log n), Speichergrößen, Informationsgehalt.
  • Finanzen: Wachstumsanalysen, Zinseszins-Rechnungen.
  • Datenvisualisierung: Logarithmische Achsen für Daten über viele Größenordnungen.

Typische Fehler

  • Ungültige Eingabe: x ≤ 0, b ≤ 0 oder b = 1.
  • Format: Dezimalzahlen mit Komma schreiben, z. B. 3,5·10-4 = 0,00035.
  • Einheiten: Eingaben sollten dimensionslose Zahlen sein.

Übungen

  1. Berechne log10(500). Das Ergebnis liegt zwischen 2 und 3.
  2. Vergleiche log2(1 024) und log2(2 048).
  3. Transformiere y = a · bt mit einem Logarithmus zu einer linearen Form.

Häufige Fragen

Q1: Unterschied zwischen log und ln?

log bezeichnet meist den Zehnerlogarithmus, ln den natürlichen Logarithmus mit Basis e.

Q2: Warum muss x größer als 0 sein?

Weil Potenzen von b immer positiv sind, also keine Lösung für x ≤ 0 existiert.

Q3: Kann die Basis kleiner als 1 sein?

Ja, solange b > 0 und b ≠ 1. Beispiel: b = 0,5.

Q4: Führt die Basiswechsel-Formel zu Ungenauigkeit?

Es können Rundungsfehler auftreten, für die meisten Anwendungen reicht die Genauigkeit jedoch völlig aus.

Q5: Was bedeutet ein negatives Ergebnis?

Wenn 0 < x < 1, wird der Logarithmus negativ, da eine negative Potenz nötig ist.

Zusätzliche Tipps

  • Bei Daten über viele Größenordnungen lohnt sich eine logarithmische Darstellung.
  • Exponentielles Wachstum wirkt in einer Logarithmus-Skala linear.
  • Wenn das Ergebnis NaN ist, prüfe die Eingaben.

Verwandte Werkzeuge

  • Potenzrechner (by)
  • Umrechnung zwischen ln und log
  • Darstellung mit logarithmischer Skala